Fire TV Stick 4Kの音が出ない件の続報

せっかく買ったアマゾンのFire TV Stick 4K。

プロジェクターにつなぐと音がでないという致命的な状況になっています。
音声分離をしているこちらのセレクタ、RATOC RS-HDSW41A-4K。

ラトックに聞いてみたところ、相性問題ではないかとのこと。返品もしてもらえるとのことでしたが、PS5でもブルーレイレコーダーでも使えるので、どう考えても不良品ではありません。
とても重宝しているので、返品はありえません。

Fire TV Stick 4Kのアマゾンに聞いてみたところ、出力側のプロジェクターに音声出力機能が付いていなければ、音声信号を送らないとのこと。
本当でしょうか。
EDID情報を使って、適切な解像度で送るという話は良くありますが、音声を送らなくするというのは聞いたことがありません。
本当ならすごいありがた迷惑ですね。

どちらにしても解決しそうもないので、どうしようかと思っているところです。
さすがにBluetoothスピーカーを付けるとか、オーディオルームではありえません。